লম্ব আঁকার পদ্ধতি এবং…

লম্ব আঁকার পদ্ধতি তো সবাইই জানেন। বা অন্তত এক সময় জানতেন। অনেকটা বাধ্য হয়েই। আজকে আমার লেখা সেই লম্ব নিয়েই। ব্যাপারটা কত ঝামেলার ছিল মনে আছে? আমি এখন আবার সেই পদ্ধতি বর্ণনায় যাব না। শুধু ছবিটা দিয়ে দিচ্ছি। এতেই আশা করি মনে হয়ে যাবে-

তা আমি এত কিছু বাদ দিয়ে সিসিবিতে হঠাৎ জ্যামিতির ক্লাস নেয়া শুরু করলাম কেন? কারণ আমি লম্ব আঁকার আরও একটি পদ্ধতি সবাইকে জানাতে চাই। কেন? কারণ পদ্ধতিটি অনেক সোজা এবং তেমন কোথাও দেখা যায় না। আর তার চেয়েও বড় কথা, পদ্ধতিটি আমি অনেক দিন পর্যন্ত আমার নিজের আবিষ্কার বলেই জানতাম!!

প্রথমেই এই পদ্ধতিতে লম্ব আঁকার একটি ছবি-

এখন দেখা যাক কিভাবে লম্ব আঁকব। মোট তিনটি ধাপ। তুলনা করতে গেলে বলা যায় উপরে দেয়া পদ্ধতি, যেটা আমরা সবচেয়ে বেশী ব্যবহার করে থাকি, সেটাতে ধাপ পাঁচটি।

– ধরা যাক AB সরলরেখার A বিন্দুতে লম্ব আঁকতে হবে। প্রথমে AB এর বাইরে যেকোন একটি বিন্দু O থেকে OA ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ (বা বৃত্ত) আঁকি। এখানে যদিও O এর অবস্থান যে কোন খানেই হতে পারে, আমাদের আঁকার সুবিধার জন্য এটা উপরে ডান দিকে নেয়া হয়েছে। দেখা যাবে বৃত্তচাপটি AB রেখার সাথে A ছাড়াও অন্য একটি বিন্দুতে মিলিত হয়েছে। এই বিন্দুর নাম দিলাম D।

– এখন D এবং O যোগ করি এবং টেনে বাড়িয়ে দিই। এবার দেখা যাবে DO রেখাটি বৃত্তচাপটির সাথে অন্য একটা বিন্দুতে মিলিত হয়। ঐ বিন্দুর নাম দেয়ে হল C।

– এই বার খুব সোজা। A এবং C যোগ করলেই আমরা আমাদের কাঙ্ক্ষিত AB রেখার উপর লম্ব AC পেয়ে গেলাম।

এখন আসি এই পদ্ধতির ইতিহাস নিয়ে। এই ভাবে যে লম্ব আঁকা যায়, সেটা আমার মাথায় প্রথম আসে কলেজে থাকতে, ক্লাস টুয়েলভে। কলেজ থেকে বের হয়ে আসার কিছুদিন আগে হবে হয়ত। কোন নাটকীয় ঘটনার মাধ্যমে না, স্বপ্ন-টপ্নও না। আমার গণিত ভাল লাগত। বিষেশ করে জ্যামিতি। তখন আমরা কয়েক বন্ধু মিলে “নিউরনে অনুরণন” এর ধাঁধাঁর উত্তরও খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছি অনেক। সবাই মিলে অনেক গুলোর সমাধান করেছিলামও। তা এজন্যই বলা যায়, গণিত নিয়ে বা জ্যামিতি নিয়ে চিন্তা করতাম। আর এই পদ্ধতি সেই চিন্তারই ফসল।

এটা মাথায় আসার পর বেশ খুশী হয়েছিলাম। আমি কি কিছু একটা আবিষ্কার করে ফেললাম? অনেককেই এই পদ্ধতির কথা বলেছিলাম। যেই দেখেছে সেই বলেছে এটা অনেক সোজা। তবে যারা একটু অভিজ্ঞ, তারা বলেছেন যে এমন একটা বিষয়! আর এমন সোজা পদ্ধতি। নিশ্চয়ই আগে কেউ আবিষ্কার করে ফেলেছে। কেউ আগেই এটা বের করে ফেলেছে এটা মানতে আমার তেমন কোন আপত্তি ছিল না। কিন্তু তাহলে সবাই এভাবে আঁকে না কেন? এত সহজ একটা পদ্ধতি বাদ দিয়ে সবাই কেন অমন কঠিনভাবে লম্ব আঁকে? আর কেউ এভাবে না আঁকুক, অন্তত এটা কোথাও পাওয়া তো যাবে। কিন্তু আমি কোথাওই এমন কিছুই খুঁজে পেলাম না। সুতরাং আশা নিয়েই থাকলাম, এটা আমারই আবিষ্কার!

কিন্তু আমি আসলে জানতাম না এটা নিয়ে ঠিক কি করতে হবে। এ নিয়ে কি করব চিন্তা করতে করতে একবার ইয়াহু আনসারস এ জিজ্ঞেসই করে ফেললাম। __লিংক__ (প্রশ্নকর্তার নাম রুহানী। ঐটা আমারই ডাকনাম।)

কিন্তু তেমন সন্তোষজনক কিছু পাওয়া গেল না। এভাবে আমার ভার্সিটি জীবনও শেষ হয়ে গেল। আমি মাঝে মাঝে কাউকে উৎসাহ নিয়ে দেখাতাম। ভাল ভাল মন্তব্য শুনতাম। এরপর হয়ত সবাই ভুলে যেত। আমিও  পরে এটা নিয়ে খুব বেশী মাথা ঘামাতাম না। গত বছর ভার্সিটি থেকে বের হলাম। শুরু হল বেকার জীবন। হাতে অফুরন্ত সময়। চাকুরী খোঁজার অজুহাতে ইন্টারনেটেই থাকি অনেকটা সময়। তো একদিন এই বস্তুর কথা আবার মনে পড়ল। এর মধ্যে আমি উইকিপিডিয়ার  বিষেশ ভক্ত হয়ে গেছি। তো দিলাম উইকিতে খোঁজ দ্য সার্চ। এবং যথারীতি পেয়েও গেলাম লম্বের উপর একটা আর্টিকেল। আর সেখান থেকে লম্ব আঁকার ব্যাপারে পেলাম এই লিংক। এখানে গিয়ে দেখলাম, আমার সেই পদ্ধতি।

এভাবেই আমার ‘নতুন কিছু একটা আবিষ্কার করেছি’ – এই ধারণার স্বপ্নের সমাপ্তি ঘটল। তবে এখনও আমি এটার কথা মাঝে মাঝে কাউকে কাউকে সুযোগ পেলে বলি। ভাবলাম সিসিবিতে এটা নিয়ে একটা পোস্ট দিয়ে দেই। আর শেষে বলে রাখা ভাল, লম্ব আঁকার জন্য এই দুইটা ছাড়াও আরও অনেক পদ্ধতি আছে।

৫,২৯৯ বার দেখা হয়েছে

৪৮ টি মন্তব্য : “লম্ব আঁকার পদ্ধতি এবং…”

    • গুলশান (১৯৯৯-২০০৫)

      জানি না কোন পদ্ধতির কথা বলছেন। কারণ আমি এর চেয়ে কম ধাপে আর কোন পদ্ধতি পাইনি। তবে নীচে রকিব যে পদ্ধতির কথা বলেছে (সম্ভবত উইকিপিডিয়ার আর্টিকেলের ছবিটা), সেটাও বেশ সহজ। জানি না আপনি সেটার কথাই বলছেন কিনা। ঐটা না হলে আপনার যেটা জানা আছে, সেটা শেয়ার করবেন প্লীজ? মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ আপু।

      জবাব দিন
    • আয়েশা ( মগকক) আয়েশা

      আচ্ছা দেখি এক্সপ্লেইন করতে পারি কিনা. আমাদের পড়া প্রথম সম্পাদ্য টা ছিল- "কোনো একটা রেখাকে সমদ্বিখন্ডিত করতে হবে" -- মনে আছে? যে পদ্ধতি টার কথা মনে পরছে....সেটা এই প্রথম সম্পাদ্যের আরেকটু modified রূপ। ধরা যাক- AB কোনো রেখা এবং O অন্তস্থ কোনো বিন্দুতে লম্ব আঁকতে হবে। ১. O কে কেন্দ্র করে O এর দুপাশে AB এর উপর দুটি বৃত্তচাপ আঁকি, যা যথাক্রমে AB কে p এবং Q বিন্দুতে ছেদ করে। 2.এখন p এবং Q কে কেন্দ্র করে AB এর যে কোনো একপাশে ekoi beshardho niye দুটি বৃত্তচাপ আঁকলে ত়া পরস্পর Z বিন্দুতে ছেদ করলো। ৩.এখন O , Z যোগ করলেই কাঙ্খিত লম্ব পেয়ে যাব। আমরা ইচ্ছা করলে এই প্রায় একই পদ্ধতিতে বহিঃস্থ বিন্দু দিয়েও লম্ব আঁকতে পারব। যেটা আমি কোনো বিষমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা নির্ণয়ের সময় মাঝে মাঝে ব্যবহার করতাম। আজকে বাচ্চাকালের গণিত শাস্ত্রের কথা মনে করে খুবই মজা লাগছে! je যত ja-ই boluk na keno, তুমি jei boyoshe এভাবে লম্ব আঁকা abishkar korecho shetar jonyo তুমি oboshshoi proshongshar jogyo. (সম্পাদিত)

      জবাব দিন
      • গুলশান (১৯৯৯-২০০৫)

        হ্যাঁ, এটাই উইকিপিডিয়াতে দেখানো পদ্ধতিটা। আর রকিবও এটার কথাই বলছিল মনে হয়। এখানে একটা কথা বলে ক্রেডিট নেয়ার লোভ সামলাতে পারছি না। এটাতে ২য় ধাপটা কিন্তু আসলে দুইটা একইরকম ধাপ। কারণ P থেকে একটা বৃত্তচাপ আঁকতে হবে, আবার Q থেকে আরেকটা। সুতরাং আমারটায় কিন্তু ধাপ এখনও একটা কম। হাহা

        জবাব দিন
        • আয়েশা ( মগকক) আয়েশা

          উইকি দেখলাম.....সেখানে P বহিঃস্থ কোনো নির্দ্দিষ্ট বিন্দু ছিল, তাই না?.
          এখানে ম্যাথ কে কোন নিয়মে করছে, সেটা নিয়ে খামোখা টিচাররা মাথা ঘামায় না. প্যারাবোলার vertex যদি কেউ ক্যালকুলাস করেও বের করে, সেটাও গ্রহনযোগ্য, পরিষ্কার কনসেপ্ট-ই যথেষ্ঠ.
          কারেকশন-
          জন্য: বিষমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা
          পড়ুন: বিষমবহু ( যেগুলো acute / obtuse ) ত্রিভুজের উচ্চতা

          জবাব দিন
  1. রকিব (০১-০৭)

    আরেকটা শিখেছিলাম (যদিও একটু জটিল)।
    তিনটা বৃত্ত ব্যবহার করে আঁকতো।
    গণিত, বিশেষত জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতি বিষয়গুলোতে কিছু অদ্ভূতুড়ে মজার জিনিস আছে এমন।


    আমি তবু বলি:
    এখনো যে কটা দিন বেঁচে আছি সূর্যে সূর্যে চলি ..

    জবাব দিন
  2. মাসরুফ (১৯৯৭-২০০৩)

    বেশ ভালো লাগলো।আমাদের শরীফ পীথাগোরাসের উপপাদ্য নিজের মত করে প্রমাণ করেছিলো ক্লাস নাইনে থাকতে-পরে দেখা গেলো এটি অনেক আগেই আবিষ্কৃত পীথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণের ছয়টি উপায়ের একটি।তবে যা-ই হোক,এতে শরীফের কৃতিত্ব বিন্দুমাত্র খাটো হয়না(তোরটাও হয়না)।রামানুজনও তাঁর আর্টিকেল যখন বিলেতে পাঠান সেখানে বহু পুরনো কিছু উপপাদ্যের নিজস্ব প্রমাণ বের করেছিলান।আফসোস,আমাদের শিক্ষাব্যবস্থায় গণিতপ্রীতির চাইতে গণিতভীতির উদ্রেগই বেশি হয়।

    জবাব দিন
    • গুলশান (১৯৯৯-২০০৫)

      শরীফ ভাই বস। খায়বার হাউস বস। ব্লু ব্লু আপ আপ।
      আমাদের বইয়ের কথা আর বলবেন না। মনে আছে ক্লাস সিক্সে উপপাদ্য আর সম্পাদ্যের সাথে কিভাবে পরিচয় হয়েছিল? এটা যে একটা বোঝার জিনিস, এইটাও মনে হয় বুঝিনি!
      আর আমাদের শিক্ষকরাও যেন কেমন। গণিতের মজা পাইয়ে দেবার চাইতে কঠিন কঠিন প্রশ্ন করে সবার মনে এইটার ভয় ঢুকিয়ে দেওয়াটাই যেন উনারা বেশী পছন্দ করতেন। আমার মনে আছে, কলেজে কোন এক এইচ.এস.সি. এর প্রিটেস্ট পরীক্ষায়, একটা প্রশ্ন ছিল। একটা বিন্দু থেকে একটা বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ বের করতে হবে। বিন্দুর স্থানাঙ্ক আর বৃত্তের সমীকরণ দেওয়া আছে। কিন্তু কিছুতেই কোন সমীকরণ বের করা যাচ্ছে না। পরে দেখা গেল, বিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে। সুতরাং স্পর্শকই সম্ভব নয় (আশা করি আন্দাজ করতে পারছেন কার কীর্তি)।
      এটাও একটা মজার প্রশ্ন হত। যদি এটা পরীক্ষায় না দিয়ে ক্লাসে দেওয়া হত। অথবা পরীক্ষার মধ্যে মাথা খাটানোর জন্য যথেষ্ঠ সময় পাওয়া যেত। এভাবেই আমাদের মধ্যে তৈরী হচ্ছে গণিতভীতি।

      জবাব দিন
      • মাসরুফ (১৯৯৭-২০০৩)

        আমাদের মাহমুদ একবার সমস্ত এক্সট্রার প্রমান ভেক্টর দিয়ে করলো।সানাউল স্যার লিখলেন-" বোর্ডের পরীক্ষায় তোমাকে নম্বর দেবেনা দেখে আমিও দিতে পারলামনা।" স্যারের দোষ নেই-কারণ বোর্ডের পরীক্ষায় এই কাজ করলে ও আসলেই নম্বর পেতোনা।তবে আজাদ স্যার ক্লাসে খুব প্রশংসা করেছিলেন-বলেছিলেন যে আমার কাছে ওর খাতা গেলে আমি ওকে ফুল মার্ক্স দিতাম।

        জবাব দিন
        • গুলশান (১৯৯৯-২০০৫)

          এইচ.এস.সি. তে পড়ার সময় মনে হত আমাদের ক্যালকুলাস এবং ভেক্টর এর মূল ধারণাটা অতটা পরিষ্কার না। এটাতে আরও বেশী গুরুত্ব দেয়া উচিত এবং গণিতের ১ম পত্রে অর্থাৎ ইলেভেনেই পড়ানো উচিত। আর ফিজিক্স বইতেও ভেক্টর এবং ক্যালকুলাস এর ব্যবহার বাড়ান উচিত।

          জবাব দিন
  3. সাবিহা জিতু (১৯৯৩-১৯৯৯)

    গনিত প্রিতী আমারও ছিলো কলেজে থাকতে আর তাই এসএসসি এবং এইহএসসি দুইতেই আর্টেসের ছাত্রী হয়েও দুটোতেই ম্যাথ ছিল। তাই তোমার এই পোষ্টটা বেশ আগ্রহ নিয়ে পড়লাম। এই পদ্ধতিতে লম্ব আঁকা আসলেই অনেক সহজ মনে হচ্ছে। আর তোমার লেখার ধরনটাও বেশ মজার ছিল। লম্ব আঁকার হাজারটা পদ্ধতি থাকতেই পারে অনেক আগে থেকেই, কিন্তু এইটা যেহেতু তোমার মাথা থেকে বেড়িয়েছে এতো অল্প বয়সে তুমি অবশ্যই এটার আবিষ্কারক হিসেবে ক্লেইম করতেই পার আর আমরাও সেটা মেনে নিব। :clap:


    You cannot hangout with negative people and expect a positive life.

    জবাব দিন
  4. সাকিব (২০০২-২০০৮)

    ব্যপক লাগালো...... :thumbup: :thumbup: :thumbup:
    মনে আছে, একবার নাইন এ থাকতে শুনেছিলাম, কোন কোণকে সম্পাদ্যে সমান তিন ভাগে ভাগ করা যায় না। ওইটা করতে গিয়ে বহু প্রেপ এর মুল্যবান ঘুম নষ্ট হয়েছে। তবে আমাদের যাহীনের এটার পেছনে শুধু প্রেপ না , রাতের ঘুমও নষ্ট হয়েছে।

    জবাব দিন
  5. কামরুলতপু (৯৬-০২)

    চমৎকার গুলশান।
    তুমি এখানে যে উপপাদ্য ব্যবহার করেছ তা হচ্ছে ব্যাসের উপর অঙ্কিত বৃত্তস্থ কোন ৯০ ডিগ্রী। যেহেতু একটি জ্যা হচ্ছে আমাদের প্রদত্ত রেখা তাই তার উপর লম্ব আঁকা হয়ে যাচ্ছে। (সম্পাদ্য সব উপপাদ্য থেকেই আগত)
    আরেকটি উপপাদ্য ব্যবহার করে কিন্তু আরেকভাবে করা যাবে। একটা উপপাদ্য মনে আছে নিশ্চয়ই, দুইটি বিন্দু থেকে সমদুরবর্তী বিন্দুসমূহের যোগরেখা ঐ দুই বিন্দুর সংযোগ বাহুর উপর লম্ব।
    সেটা ব্যবহার করলে প্রদত্ত বিন্দুর দুই পাশে একই বৃত্তচাপ দিয়ে দুইতা বিন্দু পাওয়া যায়। সেখান থেকে যে কোন ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ একে তার ছেদবিন্দু থেকে টানলেই লম্ব হয়ে যাবে। তোমার থেকে সহজে হল কিনা বলতে পারছি না।

    জবাব দিন
    • গুলশান (১৯৯৯-২০০৫)

      আঁকার পরে প্রমাণও করেছিলাম। যেটা বলেছেন সেটাই। ছবি দেখলেই বোঝা যায়। আপনি পরে লম্ব আঁকার যে পদ্ধতির কথা বললেন সেটার কথা আয়েশা আপুও বলেছেন। রকিবও ঐটার কথায় বলেছে মনে হয়। উইকিপিডিয়াতেও ঐ ছবিটাই আছে। আসলে লম্ব আঁকার বহুল প্রচলিত পদ্ধতিগুলোর মধ্যে এটাই সবচেয়ে সহজ। এটার আরেকটা বর সুবিধা হল, রেখার বাইরের কোন বিন্দু থেকেও লম্ব আঁকা যায়। তবে অসুবিধা হল, রেখার প্রান্তবিন্দুতে আঁকা যায় না। আঁকতে হলে রেখাকে বাড়িয়ে নিতে হবে। আমি আমারটাকে বেশী সহজ বলছি। কারণ আমারটাতে তিনটা ধাপ আর ওটায় চারটা। উপরে আয়েশা আপুর মন্তব্যের নীচে চারটা কেন সেটা বলেছি। মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ।

      জবাব দিন
  6. মোস্তফা (১৯৮৮-১৯৯৪)

    চমৎকার পদ্ধতিটি, এবং বেশ সহজ।

    একটি ছোট্ট কিন্তু রয়েছে তোমার ছবিটি নিয়ে। ছবিতে দেখা যাচ্ছে যে চাপ (বক্রাকার) AC এবং AD সমান নয়। AD কে কিছুটা বড় দেখাচ্ছে। অথচ দু'টো সমান হওয়ার কথা। তোমার মূল লিঙ্ককে কিন্তু দু'টো চাপ (বক্রাকার) সমান। এটা মনে হয় ছবির আস্পেক্ট রেশিওর জন্য হতে পারে। ঠিক করে নিও। না হলে কেউ কনফিউজড হতে পারে।

    জবাব দিন
    • গুলশান (১৯৯৯-২০০৫)

      আসলে ভাইয়া ছবিতে AC এবং AD সত্যিই অসমান। আর এই পদ্ধতির সাথে AC এবং AD সমান বা অসমান হওয়ার কোন সম্পর্কও নেই। সমান হতেও পারে, নাও হতে পারে। কিন্তু খেয়াল করলে দেখা যাবে, এদের দৈর্ঘ্য কাছাকাছি হলে প্র্যাকটিক্যালি ছবিটা আঁকতে সুবিধা হয়। নাহলে বৃত্তচাপের সাথে রেখা ঠিক কোন বিন্দুতে ছেদ করেছে এটা বুঝতে সমস্যা হতে পারে।

      জবাব দিন
  7. লুবজানা (২০০৫-২০১১)

    ভাইয়া আমার ও ১১ এ খুব সমস্যা হইছে ক্যালকুলাস নিয়ে...কেমিস্ট্রিতেও আছে ফিজিক্স এ ও অথচ পরানোই হলো ১ বছর পর! ততদিনে আমি মোটা মুটি সায়েন্সের সাব্জেক্টে কাচা জাতীয় নাম পেয়ে গেছি!!!এখন দেখি আসলে বিষয়টা তেমন কিছু ই না... 🙁 🙁


    নিজে যেমন, নিজেকে তেমনি ভালবাসি!!!

    জবাব দিন
    • গুলশান (১৯৯৯-২০০৫)

      কিছুদিন পর পরই আমাদের শিক্ষা-ব্যবস্থাকে "ঢেলে সাজানো" ধরণের কথা শোনা যায়। এবং অনেক অর্থ ও সময় ব্যয় করে তা করাও হয়। কিন্তু দেখা যায় শেষ পর্যন্ত যেই সেই। অথচ সামান্য কিছু কিছু ব্যপারে একটু পরিবর্তন আনলেই কিন্তু আমাদের শিক্ষা-ব্যবস্থার মান অনেকখানি বেড়ে যাবে বলে আমার বিশ্বাস। তার একটা প্রমাণ হল এই ক্যালকুলাস এর ব্যপারটা।

      জবাব দিন
  8. মাসরুফ (১৯৯৭-২০০৩)

    গণিতে কেমনে জানি এ=বি সবক্ষেত্রেই প্রমাণ করা যায়(যদিও মূল সুত্র ভুল থাকে)। এই সিসিবির শুরুর দিকেই গণিত বিষয়ক একটা পোস্টে এক বড় ভাই "কামরুল ভাই=ব্র্যাড পিট" প্রমাণ করছিলেন।কারো মনে আছে ওই পোস্টের কথা? 😀

    জবাব দিন

মন্তব্য করুন

দয়া করে বাংলায় মন্তব্য করুন। ইংরেজীতে প্রদানকৃত মন্তব্য প্রকাশ অথবা প্রদর্শনের নিশ্চয়তা আপনাকে দেয়া হচ্ছেনা।